以下是圆的所有核心知识点总结及公式，综合多个权威来源整理而成：

一、圆的基本定义与性质

1. 定义 ：平面上到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

2. 对称性 ：圆是轴对称图形，任意直径所在直线都是对称轴，有无数条对称轴。

3. 直径与半径 ：直径是过圆心的弦，长度为半径的两倍（d=2r）。

二、圆的计算公式

1. 周长 ：C=2πr 或 C=πd。

2. 面积 ：S=πr²。

3. 半圆周长 ：C=πr+2r。

4. 半圆面积 ：S=πr²/2。

三、点与圆的位置关系

1. 点在圆外 ：点到圆心的距离大于半径（PO>r）。

2. 点在圆上 ：点到圆心的距离等于半径（PO=r）。

3. 点在圆内 ：点到圆心的距离小于半径（PO<r）。

四、直线与圆的位置关系

1. 切线 ：与圆只有一个交点的直线，切线垂直于半径于切点。

2. 割线 ：与圆有两个交点的直线。

3. 弦长公式 ：弦长L=2√（r²-d²）（d为弦心距）。

五、圆周角定理

1. 圆周角 ：顶点在圆周上的角，其度数等于所对弧的圆心角的一半。

2. 推论 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角。

六、垂径定理

1. 垂径定理 ：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

2. 推论 ：弦的垂直平分线经过圆心。

七、圆内接四边形

1. 性质 ：对角互补，任意外角等于内对角。

八、辅助线与证明技巧

1. 垂线段最短 ：过圆心作弦的垂线，垂线段最短。

2. 勾股定理 ：在直角三角形中，a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边）。

注：公式中的π（圆周率）通常取近似值3.14或更精确的数值。