​​初三数学的核心知识点涵盖代数、几何、函数、统计四大板块，其中一元二次方程求根公式、勾股定理、二次函数顶点坐标等是高频考点。​​ 以下是系统归纳的公式与知识点，帮助学生高效复习：

1. ​​代数部分​​

   • ​​一元二次方程​​：求根公式为$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，判别式$\Delta =b^2-4ac$决定根的性质（$\Delta >0$两实根，$\Delta =0$重根，$\Delta <0$无实根）。
   • ​​因式分解​​：平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，完全平方公式$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$。
   • ​​分式运算​​：$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$，注意约分与通分规则。

2. ​​几何部分​​

   • ​​三角形​​：勾股定理$a^2+b^2=c^2$（直角边$a,b$，斜边$c$），面积公式$S=\frac{1}{2}bh$。
   • ​​圆​​：周长$C=2\pi r$，面积$S=\pi r^2$；扇形弧长$L=\frac{n\pi r}{180}$（$n$为圆心角）。
   • ​​立体几何​​：长方体体积$V=abc$，圆柱体积$V=\pi r^{2}h$。

3. ​​函数与图像​​

   • ​​二次函数​​：标准式$y=a{x}^2+bx+c$，顶点坐标$\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}\right)$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}$。
   • ​​斜率公式​​：直线斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，反映函数增减性。

4. ​​统计与概率​​

   • ​​数据统计​​：平均数$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$，方差$s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}$。
   • ​​概率计算​​：事件概率$P(A)=\frac{\text{有利事件数}}{\text{总事件数}}$，互斥事件$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。

​​建议结合真题练习巩固公式应用，尤其注意几何证明的逻辑链和函数图像的变换规律。​​ 定期整理错题本，针对性强化薄弱点，可显著提升解题效率。