e
关于表达式 $（1 + \frac{1}{x}）^x$ 的极限值等于自然对数的底数 $e$，可以从以下角度进行解释：
一、极限定义与数学推导
根据指数函数的定义和极限的性质： $$ \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$
这一结论可以通过以下步骤推导：
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自然对数的性质 ：考虑函数 $f（x） = \ln\left（1 + \frac{1}{x}\right）^x$，利用对数的性质可以将其转化为： $$ f(x) = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $$
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变量替换 ：令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$。于是上式变为： $$ \lim_{{t \to 0}} \frac{\ln(1 + t)}{t} $$
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导数定义 ：上述极限形式与导数的定义一致，即： $$ \lim_{{t \to 0}} \frac{\ln(1 + t) - \ln(1 + 0)}{t - 0} = \left[\ln(1 + t)\right]^\prime \bigg|_{t=0} $$
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计算导数 ：已知 $\left[\ln（1 + t）\right]^\prime = \frac{1}{1 + t}$，代入 $t = 0$ 得到： $$ \left[\ln(1 + t)\right]^\prime \bigg|_{t=0} = 1 $$
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指数还原 ：因为 $\ln\left[\lim_{{x \to \infty}} \left（1 + \frac{1}{x}\right）^x\right] = 1$，所以： $$ \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^1 = e $$
二、数值逼近与函数特性
虽然 $（1 + \frac{1}{x}）^x$ 在 $x \to \infty$ 时严格小于 $e$，但可以通过基本不等式（如泰勒展开）证明其无限逼近 $e$： $$ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e $$
当 $x$ 足够大时，两者的差值可以任意小，但始终无法达到 $e$ 本身。
三、应用与扩展
该极限是数学分析中的经典案例，广泛应用于概率论、复利计算、生物学等领域。例如，连续复利公式 $A = P e^{rt}$ 的推导就基于此极限。
$（1 + \frac{1}{x}）^x$ 的极限为 $e$，这一结论通过极限定义和导数理论严格证明，并通过数值分析进一步验证其逼近特性。