数列c通常指组合数，其公式为 C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]。例如，计算从5个元素中选取3个元素的组合数，公式为 C(5, 3) = 5! / [3!(5-3)!] = 10。

组合数的定义与意义

组合数C(n, m)表示从n个不同元素中选取m个元素的不同组合方式总数。它强调“选取”，但不考虑元素之间的顺序。

公式的推导与应用

1. 公式推导：
   组合数公式由排列数公式推导而来。排列数A(n, m) = n! / (n-m)!表示从n个元素中选取m个元素并考虑顺序的排列方式总数。而组合数C(n, m)则是从排列数中去掉顺序的影响，即除以m!。
   C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / [m!(n-m)!]。

2. 应用实例：

   • 从10本书中选取3本不同的组合数：C(10, 3) = 10! / [3!(10-3)!] = 120。
   • 从5个人中选出2人组成委员会的组合数：C(5, 2) = 5! / [2!(5-2)!] = 10。

组合数的性质

1. 对称性：C(n, m) = C(n, n-m)。例如，C(5, 2) = C(5, 3)。
2. 递推关系：C(n, m) + C(n, m-1) = C(n+1, m)。
3. 组合数与二项式定理的联系：组合数是二项式定理展开式中的系数，例如(a+b)^n展开中，a^m*b^(n-m)的系数即为C(n, m)。

总结

组合数C(n, m)的公式简洁且强大，广泛应用于计数问题、概率计算及组合优化等领域。掌握其公式和性质，能帮助解决许多实际问题。