根据***息，李新元与廖向杰在职务上存在前后任关系，具体如下：

1. 工作履历关联

   • 李新元在2015年2月担任贵港市市长，同年12月升任贵港市委书记，直至2018年2月调任自治区农业农村厅党组书记。

   • 廖向杰在2014年7月担任贵港市发改委党组书记、主任，直至2018年2月李新元离任，之后廖向杰继续担任发改委主任直至被查。

2. 职务变动时间线

   • 2015年2月：李新元任市长、市委书记，廖向杰任发改委党组书记、主任；

   • 2018年2月：李新元调任自治区农业农村厅党组书记，廖向杰仍任发改委主任；

   • 2018年3月：李新元离任市委书记职务，廖向杰继续担任发改委主任；

   • 2021年2月：李新元调任自治区农业农村厅党组书记；

   • 2022年：李新元因严重违纪违法被查。

3. 当前状况

   • 2025年3月：廖向杰因涉嫌受贿被决定逮捕，李新元此前已因严重违纪违法被查。

李新元与廖向杰在贵港市发改委任职期间存在工作交集，李新元是廖向杰前任市委书记，而廖向杰是李新元市长时期的发改委领导，两人并非上下级关系，而是同一工作领域的不同阶段同事。