全概率公式是概率论中用于计算复杂事件概率的核心工具，尤其适用于事件由多个互斥子事件构成的情况。 其核心思想是通过分解样本空间，将整体概率转化为条件概率的加权和，广泛应用于风险评估、数据分析和决策模型等领域。

1. 定义与基本形式
   全概率公式表述为：若事件组 ( B_1, B_2, \ldots, B_n ) 构成样本空间的划分（互斥且完备），则任意事件 ( A ) 的概率可表示为：

   $$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$$

   其中 ( P(A \mid B_i) ) 是条件概率，( P(B_i) ) 是子事件先验概率。

2. 应用场景

   • 医学诊断：通过症状（( A )）反推疾病（( B_i )）概率，结合不同疾病的发病率和检测准确率。
   • 金融风控：评估**违约概率时，按客户类型（如行业、信用等级）分层计算加权风险。
   • 工业生产：分析多环节故障率对最终产品合格率的影响。

3. 理解要点

   • 互斥性：子事件 ( B_i ) 必须无重叠，确保概率不重复计算。
   • 完备性：所有 ( B_i ) 的并集需覆盖样本空间，避免遗漏可能性。
   • 权重意义：( P(B_i) ) 反映子事件的贡献权重，需通过数据或经验确定。

掌握全概率公式能系统性解决复杂概率问题，建议结合具体案例（如疾病筛查流程或产品质量链）通过PPT动态分解计算步骤，强化直观理解。