​​卡丹公式是用于求解一元三次方程的经典方法，通过引入变量代换和消元技巧，将原方程转化为二次方程求解。核心步骤包括引入新变量u和v、构造二元方程组、求解三次方程并还原根的形式。​​

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1. ​​变量代换简化方程结构​​
   将一般三次方程 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 通过代换 $x=y-\frac{b}{3a}$ 消去二次项，转化为缺项三次方程 $y^3+py+q=0$。此步骤利用多项式恒等变形，将复杂形式转化为标准型，便于后续操作。

2. ​​引入新变量构建方程组​​
   设解为 $y=u+v$，代入方程后分离变量得到 $u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$。通过强制条件 $3uv+p=0$ 消元，形成方程组 $u^3+v^3=-q$ 和 $u^3{v}^3=-\frac{p^3}{27}$，将原问题转化为求解u³和v³的二次方程。

3. ​​求解二次方程与立方根运算​​
   根据韦达定理，构造关于u³的二次方程 $t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0$，解得 $u^3=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}$。通过立方根运算求得u和v的具体值，结合 $u+v=y$ 还原原方程的根。

4. ​​处理判别式与根的分布​​
   通过判别式 $\Delta =(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3$ 判断解的类型：当Δ＞0时有一对共轭虚根和一个实根；Δ=0时存在三重根或双重实根；Δ＜0时得到三个不等实根。公式中的虚数单位i和ω（单位原根）确保所有情形均能覆盖。

5. ​​实数域内的误差控制与检验​​
   采用Excel等工具时，通过自定义函数计算立方根的近似值，并通过重新代入原方程验证误差。利用复数运算规则（如ω的周期性）消除冗余根，确保结果符合数学精度要求，同时处理增根问题。

6. ​​历史背景与学术价值​​
   该公式由卡尔丹在1545年正式发表，但其核心方法源于意大利数学家塔尔塔利亚，反映了文艺复兴时期数学的突破性进展。公式推动虚数理论发展，并奠定三次方程解析解的基础，成为代数学演进的关键里程碑。

推导卡丹公式的过程融合多项式变换、消元技巧与数论验证，体现了从特殊到一般的数学思维。理解其构造逻辑不仅有助于掌握三次方程的解法，更能深化对代数结构与方程本质的认识。