​​二次函数的求根公式通过配方法从标准方程推导而来，其核心步骤是将含参方程转化为完全平方式并开平方求解，公式为 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 决定了根的性质：当 $\Delta >0$ 时有两个不等实根；$\Delta =0$ 时有一重根；$\Delta <0$ 时存在共轭复根。​​

1. ​​从标准方程出发​​
   一元二次方程的标准形式为 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）。首先将方程两边除以二次项系数 $a$，化简为 $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，使 $x^2$ 系数归一化，便于后续处理。

2. ​​移项与配方准备​​
   将常数项 $\frac{c}{a}$ 移至等号右侧，得到 $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。为构造完全平方，需在左侧添加一个平方项 ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$，同时右侧扣除等量项以维持等式平衡，即 $x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$。

3. ​​化简为完全平方式​​
   左侧三项可合并为 ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$，右侧通分后得到分式 $\frac{b^2-4ac}{4a^2}$。此时方程变为 ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，平方项的参数与常数项关联通过判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 显现。

4. ​​开平方与分离解集​​
   两边同时开平方，需考虑正负两种情况，即 $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$。移项后可得 $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$。若 $\Delta \ge 0$，根为实数；若 $\Delta <0$，根为共轭复数。

5. ​​判别式的意义​​
   判别式 $\Delta$ 的符号直接影响根的形态：

   • ​​$\Delta >0$​​：平方根为实数，方程有两个不同实根。
   • ​​$\Delta =0$​​：平方根为零，方程仅有一实重根（即两等根）。
   • ​​$\Delta <0$​​：平方根为虚数，方程无实根但含一对共轭复数根。

6. ​​数学结构与扩展应用​​
   此公式通过参数化代入即可直接计算任意一元二次方程的解，无需额外转换，被称为“​​万能法​​”。其推导基于代数恒等变形，揭示了二次函数与一元二次方程之间的深层联系。例如，通过系数 $a,b,c$ 快速判断根的分布，或利用韦达定理关联根与系数的关系 $\left(x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1{x}_2=\frac{c}{a}\right)$，进一步深化对二次函数图像的理解。

理解二次函数求根公式不仅掌握了一种核心解题工具，还构建了解析几何与代数结合的思维框架。在实际应用中，可根据问题场景灵活选用公式法、因式分解或图像法求解，但公式的普适性使其始终是必备技能。