​​判断二次方程的根可通过判别式Δ=b²-4ac快速确定：当Δ>0时方程有两个不等实根，Δ=0时有两个相等实根，Δ<0时无实根（有两共轭虚根）。具体方法需分实系数与虚系数情形讨论，并可通过一元二次函数图像直观验证。​​

二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其根的判别式Δ=b²-4ac是核心工具。当系数a、b、c均为实数时：若Δ>0，方程有两个不同实数解；若Δ=0，解为二重实根；若Δ<0，方程无实数解但存在共轭复根。若系数含虚数，则Δ≥0时可能出现等复根，需额外条件判定。

实际应用中，可结合二次函数y=ax²+bx+c的抛物线图像验证根的情况：当a>0且Δ>0时，抛物线开口向上并与x轴交于两点；若Δ=0，顶点恰好落在x轴上；Δ<0时抛物线全程位于x轴上方或下方。例如二次函数y=x²-2x+1的顶点重合于x轴，对应Δ=0的二重根x=1。

对于需编程求解的场景，可通过判别式快速判断根的类型，并直接计算解值。例如Python中定义函数quadratic_equation(a, b, c)，根据Δ的正负返回实数根或提示无解。虚系数方程需借助复数库扩展计算逻辑。

总结而言，判别式Δ是判断二次方程根性质的核心依据，需优先分实系数和虚系数场景讨论，结合函数图像加深理解，编程实现时可封装为通用解法工具，兼顾精确性与实用性。