求根公式是解决一元二次方程的核心方法，其基本形式为 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。它通过方程的系数直接计算出方程的两个根，是数学研究和工程计算中的重要工具。

一、求根公式的推导

1. 一般形式：一元二次方程的一般形式为 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
2. 配方法推导：
   • 将方程两边除以 a，得到 x² + (b/a)x + c/a = 0。
   • 配方：(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a。
   • 整理后得到求根公式：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。

二、判别式的作用

判别式 Δ = b² - 4ac 决定了方程根的性质：

• Δ > 0：方程有两个不同的实根。
• Δ = 0：方程有一个重根（两个相同的实根）。
• Δ < 0：方程有两个共轭复根。

三、历史背景

1. 古巴比伦时期：约公元前1800年，泥板文献中已有通过几何方法求解二次方程的记录。
2. 韦达定理：16世纪，法国数学家韦达首次明确根与系数的关系，奠定了现代代数的基础。
3. 卡尔达诺公式：韦达之后，卡尔达诺等人进一步发展了高次方程的求根方法。

四、应用领域

求根公式广泛应用于数学、物理、工程等领域，例如：

• 数学建模：解决实际问题中的方程。
• 物理计算：计算运动轨迹、力学平衡等问题。
• 工程分析：优化设计参数、解决工程方程。

总结

求根公式不仅是数学发展史上的重要里程碑，也是现代科学与工程领域不可或缺的工具。掌握其基本形式和应用方法，对于解决实际问题具有重要意义。