调和级数求和是数学分析中一个经典问题，其‌发散性质‌和‌对数增长特性‌尤为关键。‌调和级数1+1/2+1/3+…+1/n的和随n增大无限增长，但增速极其缓慢‌，其部分和与自然对数ln(n)的差值会趋近于欧拉-马歇罗尼常数γ≈0.5772。

‌分点展开：‌

1. ‌发散性证明‌
   通过积分比较法或分组法可证：调和级数的部分和S_n=Σ(1/k)无上界。例如将1/3+1/4与1/2比较，1/5~1/8与1/2比较，可推出S_n>1+(n-1)/2，显然发散。

2. ‌对数关联性‌
   调和级数与ln(n)的差值极限为γ，即lim(S_n-ln(n))=γ。这一性质在算法分析中广泛应用，如哈希表冲突概率计算。

3. ‌实际意义‌
   尽管发散，调和级数在物理学（如弦振动）、概率论（如 coupon collector问题）中描述累积效应时不可或缺。

‌总结提示‌
调和级数的极限性质揭示了“无限累积微小量”的数学本质，其发散速度与对数关联的特性，成为连接离散与连续问题的重要桥梁。