以下是高等数学中常见公式的整理，涵盖导数、积分、三角函数、微分方程等核心内容：
一、导数公式
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基本导数公式
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$（c）' = 0$
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$（x^n）' = nx^{n-1}$
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$（\sin x）' = \cos x$
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$（\cos x）' = -\sin x$
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$（e^x）' = e^x$
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$（\ln x）' = \frac{1}{x}$
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高阶导数公式（莱布尼兹公式） $$\frac{d^n}{dx^n}(uv) = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}$$
其中 $C_n^k = \frac{n!}{k!（n-k）!}$。
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常见函数导数
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$（\tan x）' = \sec^2 x$
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$（\cot x）' = -\csc^2 x$
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$（\sec x）' = \sec x \tan x$
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$（\csc x）' = -\csc x \cot x$ 。
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二、积分公式
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基本积分公式
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$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
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$\int \sin x dx = -\cos x + C$
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$\int \cos x dx = \sin x + C$
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$\int e^x dx = e^x + C$
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$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ 。
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三角函数积分
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$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
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$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
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$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ 。
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分部积分法 $$\int u dv = uv - \int v du$$
常见组合：$\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$ 。
三、三角函数公式
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同角三角函数关系
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$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
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$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
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$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ 。
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和差角公式
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$\sin（a \pm b） = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
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$\cos（a \pm b） = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$ 。
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倍角公式
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$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
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$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ 。
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四、微分方程
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一阶线性微分方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$
通解公式：$y = e^{-\int P（x）dx} \left（ \int Q（x） e^{\int P（x）dx} dx + C \right）$ 。
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二阶常系数齐次线性微分方程 $$y'' + py' + qy = 0$$
特征方程：$r^2 + pr + q = 0$，根据根的情况讨论通解形式 。
五、几何与物理应用
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曲率公式 ：$k = \frac{|y''|}{（1 + （y'）^2）^{3/2}}$ 。
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拉格朗日中值定理 ：若函数在闭区间$[a, b]$连续，在开区间$（a, b）$可导，则存在$\xi \in （a, b）$，使得$f（b） - f（a） = f'（\xi）（b - a）$ 。
以上公式为高等数学的核心内容，建议结合具体问题练习应用。