大卫·希尔伯特是20世纪初最具影响力的数学家之一，他在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名数学问题，这些问题对20世纪的数学发展产生了深远的影响。
希尔伯特及其23个数学问题
希尔伯特的背景
- 早年生活与教育：希尔伯特于1862年出生于德国柯尼斯堡，曾在柯尼斯堡大学和哥廷根大学学习，期间受到了海因里希·韦伯和赫尔曼·冯·亥姆霍兹等数学家的指导。
- 数学成就：希尔伯特在代数、几何、数论、数学基础等多个领域都取得了卓越的成就。他的工作不仅推动了数学的发展，还对物理学和逻辑学产生了深远的影响。
提出23个数学问题的背景
- 时代背景：19世纪末20世纪初，物理学领域的相对论和量子力学正在酝酿，数学作为科学的基石也在经历前所未有的变革。希尔伯特意识到世纪之交的数学所面临的机遇和挑战，因此提出了这些问题。
- 与闵可夫斯基的交流：希尔伯特在准备演讲的过程中，与挚友闵可夫斯基进行了深入的探讨。闵可夫斯基建议他列出一些具有挑战性的数学问题，以激发数学家们的研究热情。
23个数学问题的内容
这些问题涵盖了数学的各个分支，包括数论、代数、几何、分析、数学基础以及数学物理等。具体问题包括连续统假设、算术公理的相容性、素数分布问题、丢番图方程的可解性等。
希尔伯特的影响
对数学界的影响
- 激发研究热情：希尔伯特提出的23个问题激发了无数数学家的研究热情，成为20世纪数学研究的“制高点”。
- 推动数学发展：这些问题不仅推动了数学各个分支的发展，还催生了许多新的数学理论和方法。
对现代数学的影响
- 数学基础问题：希尔伯特的问题中，如连续统假设和算术公理的相容性，对数学基础的研究产生了深远的影响。
- 数学物理：希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学，这一思想在量子力学和量子场论方面取得了很大成功。
数学问题的分类
数学基础问题
- 连续统假设：关于可数集基数和实数集基数之间的关系。1963年，保罗·科恩证明连续统假设与策梅洛-弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性，并证明其独立性。
- 算术公理的相容性：关于数学公理系统的无矛盾性。哥德尔的不完备性定理对此问题做出了否定，但问题仍未解决。
数论问题
- 素数分布问题：包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决，哥德巴赫猜想和孪生素数问题的**结果分别由中国数学家陈景润和张益唐取得。
- 丢番图方程的可解性：关于能否用有限步骤判定不定方程是否有有理整数解。1970年，苏联数学家马蒂塞维奇证明不存在这样的通用算法。
代数和几何问题
- 两个等底等高的四面体体积相等问题：由希尔伯特的学生德恩于1900年解决，答案是否定的。
- 代数曲线和曲面的拓扑问题：关于代数曲线的最大分枝数目和极限环的最大个数。问题分为两部分，前半部分已有重要结果，后半部分尚未完全解决。
数学分析问题
- 连续群的解析性：关于是否每一个局部欧氏群都是李群。1952年，由美国数学家格利森、蒙哥马利和齐宾共同解决，答案是肯定的。
- 半正定形式的平方和表示：关于实系数多项式是否能写成平方和的形式。1927年，由德国数学家阿廷解决。
数学问题的解决情况
已解决的问题
- 两个等底等高的四面体体积相等问题：由希尔伯特的学生德恩于1900年解决。
- 连续群的解析性：由美国数学家格利森、蒙哥马利和齐宾于1952年解决。
- 半正定形式的平方和表示：由德国数学家阿廷于1927年解决。
未解决的问题
- 连续统假设：1963年由保罗·科恩证明其与策梅洛-弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性，并证明其独立性。
- 算术公理的相容性：哥德尔的不完备性定理对此问题做出了否定，但问题仍未解决。
- 黎曼猜想：至今未解决，被认为是数学领域最重要的难题之一。
大卫·希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上提出的23个数学问题，涵盖了数学的多个领域，包括数学基础、数论、代数、几何和数学分析等。这些问题不仅激发了数学家们的研究热情，推动了数学的许多分支领域的发展，而且至今仍对现代数学产生深远的影响。
欧几里得提出过哪些著名数学问题？
欧几里得是古希腊著名的数学家，被誉为“几何之父”。他最著名的著作是《几何原本》，在其中他提出了许多重要的几何问题和定理。以下是欧几里得提出的一些著名数学问题：
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三等分角问题：这个问题要求仅使用圆规和直尺将任意角度分为三个相等的部分。欧几里得时代以来，数学家们尝试解决这个问题，但直到19世纪末，才证明了这是不可能仅用尺规完成的任务。
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立方倍增问题：即如何使用尺规作图构造一个立方体，使其体积是给定立方体的两倍。同样，这个问题也被证明在尺规作图的限制下是不可能解决的。
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化圆为方问题：这个问题要求仅使用圆规和直尺构造一个与给定圆面积相等的正方形。这个问题在古希腊时期就被提出，并且直到19世纪才被证明是不可能仅用尺规完成的。
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五大公设：欧几里得在《几何原本》中提出了五个基本公设，这些公设成为了后世几何学的基础。尤其是第五公设（平行公设），后来发展出非欧几里得几何，开启了数学的新篇章。
费马大定理是由谁提出的？
费马大定理是由法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在1637年提出的。费马在阅读丢番图的《算术》拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”这便是费马大定理的最初提出。
高斯的生日是哪一天？
高斯的生日是1777年4月30日。他出生于德国不伦瑞克的一个普通家庭，被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉。