以下是初中几何经典题目及答案的整理，涵盖多个知识点和难度层次：
一、三角形相关
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证明线段相等
已知：在$\triangle ABC$中，$D$是$AB$中点，$E$是$AC$中点，$DE \parallel BC$，求证：$DE = \frac{1}{2}BC$。 答案 ：利用中位线定理，$DE$是$\triangle ABC$的中位线，故$DE = \frac{1}{2}BC$。
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角度计算
已知：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 60^\circ$，$AB = AC$，$D$是$BC$中点，求证：$\angle BAD = 30^\circ$。 答案 ：等腰三角形性质，$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^\circ$。
二、四边形相关
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平行四边形性质
已知：平行四边形$ABCD$中，$E$是$AB$中点，$F$是$CD$中点，求证：$EF \parallel AD$且$EF = \frac{1}{2}AD$。 答案 ：中位线定理，$EF$为平行四边形中位线。
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正方形判定
已知：四边形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$，$\angle BAD = 90^\circ$，$E$是$AC$中点，求证：$BE = DE$且$\angle BED = 90^\circ$。 答案 ：正方形对角线性质，$BE$和$DE$为对角线一半，且垂直。
三、圆与几何结合
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切线性质
已知：圆$O$中，$PA$是切线，$AB$是割线，$\angle PAB = 30^\circ$，求证：$PB^2 = PA \cdot PC$。 答案 ：切割线定理，$PB^2 = PA \cdot PC$。
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圆周角定理
已知：圆$O$中，$\angle BAC = 60^\circ$，$D$是弧$BC$中点，求证：$\angle BDC = 120^\circ$。 答案 ：圆周角是圆心角的一半，$\angle BDC = 2 \times \angle BAC = 120^\circ$。
四、综合应用题
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几何证明题
已知：在$\triangle ABC$中，$D$是$AB$中点，$E$是$AC$中点，$F$是$BC$中点，求证：$DE \cdot EF = \frac{1}{4}BC^2$。 答案 ：利用中位线定理和相似三角形。
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计算题
已知：直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 3$，$BC = 4$，求斜边$AB$上的高$h$。 答案 ：根据面积公式，$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times h$，解得$h = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$。
五、拓展题目
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立体几何初步
已知：长方体$ABCD - A'B'C'D'$中，$AB = 2$，$BC = 3$，$AA' = 4$，求对角线$AC'$的长度。 答案 ：空间对角线公式，$AC' = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AA'^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$。
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相似三角形应用
已知：$\triangle ABC \sim \triangle DEF$，相似比为$2:1$，$AB = 6$，求$DE$的长度。 答案 ：相似三角形对应边成比例，$DE = \frac{AB}{2} =