数学家发现的数学知识涵盖多个领域，以下为重要成果的归纳：

一、几何与数论

1. 圆周率

   • 古埃及人计算π≈3.1，刘徽割圆术求得3.14，祖冲之将π精确到3.1415926-3.1415927，领先世界近千年。

   • 现代计算方法：物理学家通过弦理论提出新算法，计算精度提升。

2. 费马大定理

   • 17世纪法国数学家费马提出：对于n>2，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ无整数解，成为数论难题。

3. 欧几里得几何

   • 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中构建了公理化几何体系，奠定平面几何基础。

二、代数与分析

1. 无理数

   • 古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现直角三角形三边关系，欧几里得证明存在无理数（如√2）。

2. 连续统假设

   • 20世纪数学家哥德尔证明该假设与ZF公理系统独立，科思证明其无矛盾性。

三、组合与拓扑

1. 帕斯卡三角形与辛格马斯特猜想

   • 帕斯卡三角形中元素出现次数有限，辛格马斯特猜想被证明存在上限。

2. 欧拉砖

   • 构想边长、面对角线及空间对角线均为整数的多维立方体，尚未完全实现。

四、其他突破

• 新质数与形状 ：2024年发现超长质数（4102万4320位）及“软细胞”等自然形态。

• 不可计算性 ：通过“忙碌海狸函数”突破传统计算限制。

注 ：部分成果（如圆周率计算、费马大定理）历史悠久，而近年发现（如新质数、软细胞）则体现数学与跨学科的融合。