错位相减法是一种用于求和特定数列的通用方法，主要用于等差数列与等比数列相乘形成的“差比数列”的求和。其核心思想是通过错位相减简化求和过程。以下是推导过程的详细说明：
一、适用场景
当数列的通项公式为 $a_n = b_n \cdot c_n$，其中 ${b_n}$ 是等差数列（$b_n = b_1 + （n-1）d$），${c_n}$ 是等比数列（$c_n = c_1 q^{n-1}$）时，该数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 可用错位相减法求解。
二、推导步骤
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写出前 $n$ 项和表达式
设 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，其中 $a_n = b_n \cdot c_n$。 $$S_n = \sum_{k=1}^n (b_k \cdot c_k) = \sum_{k=1}^n \left[ (b_1 + (k-1)d) \cdot c_1 q^{k-1} \right]$$
展开后得到： $$S_n = b_1 c_1 \sum_{k=1}^n q^{k-1} + d c_1 \sum_{k=1}^n k q^{k-1}$$
其中，$\sum_{k=1}^n q^{k-1}$ 是等比数列的前 $n$ 项和，$\sum_{k=1}^n k q^{k-1}$ 是等比数列与等差数列乘积的前 $n$ 项和。
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乘以公比 $q$
将 $S_n$ 乘以公比 $q$： $$q S_n = b_1 c_1 \sum_{k=1}^n q^k + d c_1 \sum_{k=1}^n k q^k$$
注意到 $\sum_{k=1}^n q^k = q \frac{1-q^n}{1-q}$（等比数列求和公式）。
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错位相减
用 $q S_n$ 减去 $S_n$： $$q S_n - S_n = b_1 c_1 \left( \frac{q(1-q^n)}{1-q} - 1 \right) + d c_1 \left( \sum_{k=1}^n k q^k - \sum_{k=1}^n q^k \right)$$
左边化简为 $（q-1）S_n$，右边第二项为 $\sum_{k=1}^n （k-1） q^k$，即 $\sum_{k=1}^n k q^k - \sum_{k=1}^n q^k$。
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化简求和
通过进一步化简，得到： $$S_n = \frac{b_1 c_1 (1 - q^n)}{1 - q} + \frac{d c_1 \left[ q \frac{1-q^n}{(1-q)^2} - \frac{q(1-q)}{(1-q)^2} \right]}{1}$$
最终整理为： $$S_n = \frac{a_1 - a_{n+1} q^n}{1 - q}$$
其中 $a_n = b_n c_n$，$a_{n+1} = b_{n+1} c_{n+1}$。
三、公式总结
对于数列 $a_n = b_n \cdot c_n$，其前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式为： $$S_n = \frac{a_1 - a_{n+1} q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$
其中 $a_1 = b_1 c_1$，$a_{n+1} = b_{n+1} c_{n+1}$。
四、示例
求 $S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \cdots + （
