数列错位相减法主要用于求解形如 $S = \sum_{k=1}^n k r^k$ 的数列和，其核心步骤如下：

1. ‌写出原式‌：

   $$S = 1 \cdot r + 2 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + \cdots + n \cdot r^n$$

2. ‌乘以公比 $r$‌：

   $$rS = 1 \cdot r^2 + 2 \cdot r^3 + 3 \cdot r^4 + \cdots + n \cdot r^{n+1}$$

3. ‌两式相减‌：

   $$S - rS = \left( r + r^2 + r^3 + \cdots + r^n \right) - n \cdot r^{n+1}$$

   右侧中间项相消后，剩余首项等比数列和及末项。

4. ‌化简得和式‌：
   等比数列部分和为 $\frac{r(1 - r^n)}{1 - r}$，代入后得：

   $$S(1 - r) = \frac{r(1 - r^n)}{1 - r} - n \cdot r^{n+1}$$

5. ‌解出 $S$‌：

   $$S = \frac{r(1 - (n+1)r^n + n r^{n+1})}{(1 - r)^2} \quad (r \neq 1)$$

‌最终公式‌：
当公比 $r \neq 1$ 时，

‌特殊情形‌：
当 $r = 1$ 时，数列退化为等差数列，和为 $\frac{n(n+1)}{2}$。

‌示例验证‌：

• $n = 3$，$r = 2$ 时，原式和为 $2 + 8 + 24 = 34$，代入公式计算得： $$\frac{2 - 4 \cdot 16 + 3 \cdot 32}{1} = 34$$

此公式适用于等差数列与等比数列对应项乘积的求和，通过错位相减高效求解。