成人专升本高数一涉及许多常用的数学公式，这些公式在解题过程中起到关键作用。以下是一些常用公式的详细总结和应用实例。

导数公式

基本导数公式

• 常数函数导数：(c)' = 0，其中 c 为常数。
• 幂函数导数：(x^n)' = nx^{n-1}，其中 n 为实数。
• 指数函数导数：(e^x)' = e^x。
• 对数函数导数：(\ln x)' = \frac{1}{x}。
• 三角函数导数：
  • (\sin x)' = \cos x
  • (\cos x)' = -\sin x
  • (\tan x)' = \sec^2 x
  • (\cot x)' = -\csc^2 x

导数的四则运算公式

• 加法：若 y_1 = f(x) 和 y_2 = g(x)，则 (y_1 + y_2)' = f'(x) + g'(x)。
• 减法：若 y_1 = f(x) 和 y_2 = g(x)，则 (y_1 - y_2)' = f'(x) - g'(x)。
• 乘法：若 y = f(x)g(x)，则 y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
• 除法：若 y = \frac{f(x)}{g(x)}，则 y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}。

积分公式

基本积分公式

• 不定积分：
  • \int k \, dx = kx + C，其中 k 为常数。
  • \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C，其中 n \neq -1。
  • \int e^x \, dx = e^x + C。
  • \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C。
• 定积分：
  • \int_a^b f(x) \, dx 表示函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。

积分换元法

• 第一类换元积分法：通过凑微分法，将复杂积分转化为简单积分。例如，\int f(ax + b) \, dx = f(ax + b) \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{d(ax + b)}{dx} = \frac{1}{a} f(ax + b)。
• 第二类换元积分法：通过引入新变量，将复杂积分转化为简单积分。例如，对于 \int \sqrt{x} \, dx，可以令 u = \sqrt{x}，则 x = u^2，dx = 2u \, du，从而 \int \sqrt{x} \, dx = \int u^1 \cdot 2u \, du = 2 \int u^2 \, du = \frac{2}{3} u^3 = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}。

极限公式

基本极限公式

• 重要极限：
  • \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
  • \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e
  • \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{k}{x})^x = e^k，其中 k 为常数。

无穷小与无穷大

• 无穷小量与无穷大量的比阶：若 \lim_{x \to 0} \frac{\beta}{a} = 0，则 \beta 是 a 的高阶无穷小；若 \lim_{x \to 0} \frac{\beta}{a} = \infty，则 \beta 是 a 的低阶无穷小；若 \lim_{x \to 0} \frac{\beta}{a} = c \neq 0，则 \beta 是 a 的同阶无穷小；若 \lim_{x \to 0} \frac{\beta}{a} = 1，则 \beta 是 a 的等价无穷小。

微分中值定理

罗尔定理

若 f(x) 在 [a, b] 内连续，f(a) = f(b)，则存在 ξ \in (a, b)，使得 f'(\xi) = 0。

拉格朗日中值定理

若 f(x) 在 [a, b] 内连续，f'(x) 在 (a, b) 内可导，则存在 ξ \in (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)。

常用数学工具

泰勒公式

泰勒公式用于求函数的近似值，形式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots，其中 f(a) 是函数在 x = a 处的取值，f'(a)、f''(a) 等是函数在 x = a 处的导数。

成人专升本高数一涉及的公式种类繁多，包括导数公式、积分公式、极限公式、微分中值定理等。掌握这些公式不仅能帮助考生更好地理解和解决实际问题，还能在考试中提高解题速度和准确率。通过反复练习和总结，考生可以熟练掌握这些公式，从而在考试中取得优异成绩。