积分计算的五个核心方法如下，涵盖不定积分与定积分的常见技巧：

一、换元积分法

通过变量替换简化积分表达式，分为两类：

1. 第一类换元法（凑微分法） ：利用链式法则将积分转化为熟悉形式，例如 $\int x \cos（x^2） dx = \frac{1}{2} \sin（x^2） + C$。

2. 第二类换元法 ：通过代数替换（如三角换元、倒代换）处理复杂积分，例如 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin（x） + C$。

二、分部积分法

将两个函数的乘积积分转化为两个简单函数的积分差，公式为： $$ \int u dv = uv - \int v du $$

适用于 $\int x e^x dx$ 等形式。

三、有理函数积分法

将真分式拆分为部分分式之和，例如： $$ \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} $$

通过通分和对比系数求解常数 $A$ 和 $B$，再分别积分。

四、牛顿-莱布尼茨公式

计算定积分的数值，公式为： $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

其中 $F（x）$ 是 $f（x）$ 的原函数，例如 $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}$。

五、定义法（定积分）

通过极限定义计算积分，将区间分割为 $n$ 份，取小区间代表值求和取极限，适用于复杂函数或理论推导。

总结 ：实际计算中需根据被积函数特性选择合适方法，例如有理函数优先部分分式法，复杂积分可结合换元与分部积分法。