复变解析是指‌定义在复数域上的可微函数‌，其核心特点是‌满足柯西-黎曼方程‌，并具有‌局部幂级数展开性‌。这类函数在复平面上不仅连续，还能通过导数展现光滑性，是复分析研究的核心对象。

1. ‌复数域的可微性‌
   复变函数f(z)在点z₀解析，要求极限lim_{h→0}[f(z₀+h)-f(z₀)]/h存在且与h趋近路径无关。这一严格条件使得复变解析比实变函数可微性更强，例如‌全纯函数必然无穷可微‌。

2. ‌柯西-黎曼方程的桥梁作用‌
   设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，解析性等价于uₓ=vᵧ且uᵧ=-vₓ。这两个偏微分方程将实部与虚部紧密关联，揭示了‌二维调和函数的生成机制‌，例如u和v必须都是调和函数。

3. ‌幂级数的局部表现‌
   在解析点邻域内，函数总可展开为收敛的幂级数Σaₙ(z-z₀)ⁿ。这一特性使得‌解析延拓‌成为可能，例如通过幂级数跨区域定义函数（如黎曼ζ函数）。

4. ‌全局影响与刚性‌
   解析函数的性质具有全局性：若两解析函数在某个小区域重合，则必然在整个定义域相同。这种‌唯一性定理‌解释了为何复变函数会强烈约束边界行为。

复变解析理论为流体力学、电磁场计算等提供了数学工具，其‌路径无关积分‌特性更简化了许多物理问题的建模。研究时需注意：仅实可微不保证解析性，必须验证柯西-黎曼条件。