三角函数中的正切函数（$\tan\alpha$）的万能公式为：
$$ \tan\alpha = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} $$
公式说明
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公式形式
该公式将$\tan\alpha$表示为$\tan（\frac{\alpha}{2}）$的函数，适用于任意角$\alpha$（$\alpha \neq 2k\pi + \pi, k \in \mathbb{Z}$）。
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推导过程
通过三角函数的半角公式： $$ \sin\alpha = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \ \cos\alpha = \frac{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\alpha}{2})} $$
代入$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，经过化简即可得到万能公式。
应用场景
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简化计算 ：将三角函数表达式转换为仅含半角的正切函数，便于求最值或化简复杂表达式。
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解三角方程 ：在某些三角方程的求解中，万能公式可以减少计算步骤。
示例
计算$\tan15^\circ$： $$ \tan15^\circ = \tan\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = \frac{2\tan15^\circ}{1 - \tan^2(15^\circ)} $$
设$\tan15^\circ = t$，则： $$ t = \frac{2t}{1 - t^2} \implies t(1 - t^2) = 2t \implies 1 - t^2 = 2 \implies t^2 = -1 \quad (\text{矛盾}) $$
重新整理得： $$ t^2 + 2t - 1 = 0 \implies t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$
由于$\tan15^\circ > 0$，所以： $$ \tan15^\circ = \sqrt{2} - 1 $$
总结
万能公式是三角函数中的重要工具，通过将$\tan\alpha$表示为$\tan（\frac{\alpha}{2}）$的函数，简化了计算和推导过程，广泛应用于数学和工程领域。
