二次方程的判别式（Δ）和求根公式如下：

判别式公式

对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$），判别式 $\Delta$ 定义为：

• ‌Δ > 0‌：方程有两个不相等的实数根；
• ‌Δ = 0‌：方程有一个重根（两个相等的实数根）；
• ‌Δ < 0‌：方程无实数根，但有两个共轭复数根。

求根公式

方程的根由以下公式给出：

其中 $\pm$ 表示取正负两种情况，对应两个根。

示例验证

1. ‌方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$‌
   $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$，则 $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$。
   根为 $x = \frac{5 \pm 1}{2}$，即 $x = 3$ 或 $x = 2$。

2. ‌方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$‌
   $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$，根为 $x = \frac{2}{2} = 1$（重根）。

3. ‌方程 $x^2 + x + 1 = 0$‌
   $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$，根为复数 $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$。

总结

• ‌判别式公式‌：快速判断根的性质。
• ‌求根公式‌：直接求解所有情况下的根（实数或复数）。
• ‌注意‌：当 $a = 0$ 时，方程退化为一次方程，需单独处理。

这两个公式是解决二次方程的核心工具，适用于所有标准形式的二次方程。