休耕补贴的发放部门及流程如下：

1. 主要发放部门

   由农业农村部门负责审核、公示及发放工作。例如，黑龙江省检察院农垦分院曾督促农业农村部门依法履行休耕补贴资金发放职责；安平县农业农村局通过“一折通”或“一卡通”将补贴资金直接发放到农户或实施主体。

2. 资金来源与拨付流程

   补贴资金通常由上级财政拨入地方财政，再由地方财政划拨至农业农村局专账管理。例如，2020年国家补贴资金通过市、区财政层层下拨，最终由区农业农村局发放。

3. 具体实施主体

   包括农户、家庭农场、农业企业、合作社等农业经营主体。例如，新疆阿克苏沙雅县由农业农村部门与财政部门联合办理补贴兑付；安平县明确将农户、合作社等列为补助对象。

4. 发放程序

   需经过公示、验收等环节。例如，安平县要求公示无异议、县级验收合格后方可发放，且需农民在分户清册上签字确认。

总结 ：休耕补贴由农业农村部门统筹管理，资金通过财政渠道下拨，最终由农业农村局或乡镇一级机构直接发放给符合条件的农户或经营主体。