以下为高等数学经典题目及答案的整理，涵盖选择题、填空题、计算题等类型：
一、选择题（每题3分）
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极限题
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
答案 ：1（利用重要极限）
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偏导数题
设 $z = f（x,y）$ 具有连续偏导数，曲面 $z = f（x,y）$ 在点 $（x_0,y_0,f（x_0,y_0））$ 处的切平面法向量为：
$\nabla f（x_0,y_0） \cdot （x-x_0, y-y_0, -1）$
答案 ：B（$\nabla f（x_0,y_0）$ 为法向量）
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连续性题
设 $f（x）$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $F（x） = \int_{a}^{x} f（t）dt$ 是 $f（x）$ 的：
答案 ：C（全体原函数）
二、填空题（每题3分）
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导数应用题
设 $f（x）$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f'（x_0） = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f（x_0+h） - f（x_0）}{h}$
答案 ：$\frac{f（x_0+h） - f（x_0）}{h}$
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积分计算题
$\int_{0}^{1} x^2 \ln x dx$
答案 ：$-\frac{1}{9}$（分部积分法）
三、计算题（每题7分）
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优化问题
容积 $V = \pi r^2 h$ 固定，表面积 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 最小时，求 $r$ 和 $h$。
答案 ：$h = 2r$（通过拉格朗日乘数法）
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定积分计算题
$\int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos x dx$
答案 ：$\frac{1}{2}$（利用对称性或换元法）
四、证明题（每题5分）
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极限存在性
证明：若 $\lim\limits_{x \to a} f（x） = L$，则 $\lim\limits_{x \to a} [f（x） - L] = 0$。
答案 ：直接利用极限定义
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中值定理
证明罗尔中值定理：若 $f（x）$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $（a,b）$ 内可导，且 $f（a） = f（b）$，则存在 $\xi \in （a,b）$ 使得 $f'（\xi） = 0$。
答案 ：构造辅助函数并应用拉格朗日中值定理
五、综合应用题（9分）
题目 ：设 $z = x^3y^2 + 3xy^3$，求 $z$ 在点 $（1,1）$ 处的梯度、方向导数及沿 $x$ 轴正向的方向导数。
答案 ：
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梯度 $\nabla z = （3x^2y^2 + 3y^3, 2x^3y + 9xy^2）$，在 $（1,1）$ 处为 $（6,12）$；
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方向导数 $\frac{\partial z}{\partial l} = \nabla z \cdot \vec{e}_l$，沿 $x$ 轴正向为 $6$。
（利用偏导数定义和方向导数公式）
以上题目均基于高等数学核心知识点，涵盖极限、导数、积分、微分方程等核心内容，适合用于复习和练习。