根据权威资料，函数渐近线的经典例题可归纳为以下两类：

一、水平渐近线与垂直渐近线

例1 ：求函数 $y = \frac{e^x}{1+x}$ 的渐近线

• 水平渐近线 ：$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1+x} = \infty$，$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{1+x} = 0$，故 $y=0$ 为水平渐近线。- 垂直渐近线 ：分母 $1+x=0$ 时，$x=-1$ 为垂直渐近线。

例2 ：求函数 $y = \frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ 的渐近线

• 垂直渐近线 ：分母 $x^2+2x-3=0$，解得 $x=1$ 和 $x=-3$，故 $x=1$ 和 $x=-3$ 为垂直渐近线。- 水平渐近线 ：$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x^2+2x-3} = 1$，故 $y=1$ 为水平渐近线。

二、斜渐近线

例3 ：求函数 $y = \frac{2x+1}{x-1}$ 的渐近线

• 斜渐近线 ：$\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x（x-1）} = 2$，$\lim_{x \to \infty} （y-2x） = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1-2x（x-1）}{x-1} = 3$，故 $y=2x+3$ 为斜渐近线。

三、综合应用

例4 ：求函数 $y = \frac{e^x}{2x-1} - x + 1$ 的渐近线

• 垂直渐近线 ：分母 $2x-1=0$ 时，$x=\frac{1}{2}$ 为垂直渐近线。- 水平渐近线 ：$\lim_{x \to \infty} \left（ \frac{e^x}{2x-1} - x + 1 \right） = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - x（2x-1） + （2x-1）}{2x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - 2x^2 + 3x - 1}{2x-1} = \infty$，无水平渐近线。- 斜渐近线 ：通过计算可知无斜渐近线。

以上例题均基于极限定义和典型函数性质，涵盖水平渐近线、垂直渐近线及斜渐近线的求解方法。