正态总体的卡方分布证明主要基于样本方差的标准化。以下是关键步骤和结论：

一、核心结论

若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N（\mu, \sigma^2）$ 的样本，则统计量 $\frac{（n-1）s^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\frac{（n-1）s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2（n-1）$。

二、证明步骤

1. 样本均值与方差的独立性

   根据正态分布的性质，样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 是独立的统计量。

2. 标准化样本方差

   样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n （X_i - \bar{X}）^2$，标准化后得到 $\frac{（n-1）s^2}{\sigma^2}$。

3. 构造标准正态变量

   通过线性变换将 $X_i$ 表示为标准正态分布的线性组合，确保组合后的变量均值为0、方差为1且相互独立。具体地，设 $Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Y_i \sim N（0,1）$。

4. 平方和服从卡方分布

   由于 $Y_i$ 独立且服从标准正态分布，其平方和 $\sum_{i=1}^n Y_i^2 = \frac{（n-1）s^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。

三、应用与性质

• 样本方差的分布 ：$\frac{（n-1）s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2（n-1）$，用于总体方差的估计和检验。

• 渐近正态性 ：当自由度 $n$ 足够大时，卡方分布近似为正态分布，便于计算。

四、注意事项

• 证明中需严格处理线性组合的独立性条件，确保 $Y_i$ 的正交性。

• 卡方分布的偏斜度随自由度降低而增大，自由度为1时呈L型。