​​统计量服从卡方分布的核心条件是：若$k$个独立随机变量$Z_1,Z_2,\dots ,Z_k$均服从标准正态分布$N(0,1)$，则它们的平方和$X={\sum }_{i=1}^k{Z}_i^2$服从自由度为$k$的卡方分布，记为$X\sim {\chi }^2(k)$。​​ 这一性质在假设检验（如卡方检验）中广泛应用，通过比较实际观测值与理论值的差异显著性，验证数据分布的独立性或拟合优度。

1. ​​卡方分布的定义与性质​​
   卡方分布是连续概率分布，其概率密度函数右偏，形状由自由度$k$决定。期望$E({\chi }^2)=k$，方差$D({\chi }^2)=2k$。自由度越高，分布越接近正态分布。例如，样本方差$S^2$的标准化形式$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$服从${\chi }^2(n-1)$，体现了自由度与样本量的关系。

2. ​​关键证明步骤​​

   • ​​标准化转换​​：若原始变量$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，标准化后$Y_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。
   • ​​平方和构造​​：$X={\sum }_{i=1}^k{Y}_i^2$的分布即${\chi }^2(k)$。例如，正态样本的离差平方和$\sum (X_i-\bar{X}{)}^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$，因$\bar{X}$引入线性约束导致自由度减少。

3. ​​实际应用场景​​

   • ​​拟合优度检验​​：比较观测频数与理论频数的差异，统计量${\chi }^2=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$近似服从${\chi }^2$分布。
   • ​​独立性检验​​：列联表中，${\chi }^2$统计量用于判断变量间是否独立，自由度$(r-1)(c-1)$（$r$、$c$为行列数）。

​​总结​​：卡方分布是统计推断的重要工具，其证明依赖于正态变量的平方和与自由度概念。应用中需注意理论频数不小于5、样本独立性等前提条件，以确保结论可靠性。