样本方差的卡方分布证明主要基于正态分布的性质和线性变换。以下是关键步骤和结论：
一、核心结论
若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N（\mu, \sigma^2）$ 的样本，则 $\frac{（n-1）s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2（n-1）$，其中 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n （X_i - \bar{X}）^2$。
二、证明步骤
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样本均值与方差的性质
样本均值 $\bar{X} \sim N（\mu, \frac{\sigma^2}{n}）$，且 $\bar{X}$ 与 $s^2$ 相互独立。
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标准化处理
令 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Z_i \sim N（0,1）$。样本方差可表示为： $$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \frac{\bar{Z}^2}{n-1} $$
其中 $\bar{Z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i$。
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分解为独立卡方分布
根据正交变换（Fisher定理），$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2（n）$，且 $\bar{Z}^2 \sim \chi^2（1）$。由于 $\bar{Z}$ 与 $Z_i$ 独立，$\bar{Z}^2$ 与 $\sum_{i=1}^n Z_i^2$ 也独立，因此： $$ \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n-1) $$
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自由度调整
由于 $\bar{Z}^2$ 被包含在 $\sum_{i=1}^n Z_i^2$ 中，实际自由度减少1，最终得到 $\chi^2（n-1）$ 分布。
三、关键要点
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独立性 ：样本均值与样本方差独立是证明基础。
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正交变换 ：通过Fisher定理将样本方差分解为独立标准正态分布的平方和。
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自由度计算 ：样本方差的卡方分布自由度为 $n-1$，而非 $n$。
四、应用意义
该定理用于构造卡方检验统计量，例如单样本方差检验。通过比较 $\frac{（n-1）s^2}{\sigma^2}$ 与临界值，判断总体方差是否显著偏离假设值。