卡方分布的自由度确定方法主要取决于其定义和具体应用场景，具体如下：

一、自由度的基本定义

自由度（df）指独立变量的数量，是卡方分布的核心参数。其计算方式如下：

1. 独立正态变量平方和

   若 $Q = \sum_{i=1}^k Z_i^2$，其中 $Z_i$ 为独立标准正态分布随机变量，则自由度 $df = k$。

2. 列联表独立性检验

   对于 $r \times c$ 的列联表，自由度 $df = （r-1） \times （c-1）$。

3. 拟合优度检验

   若将观测数据分为 $k$ 个类别，且需估计参数（如正态分布的均值和标准差），则自由度 $df = k - p$（$p$ 为参数个数）。

二、自由度在卡方分布中的影响

1. 分布形状

   自由度越小（如 $df=2$），曲线右偏且峰值较低；自由度增大时，分布趋近对称，峰值向右移动（如 $df=10$ 时峰值约在 9 左右）。

2. 取值范围

   自由度越大，卡方值可取范围越广（如 $df=2$ 时常见值在 0-10，$df=10$ 时可到 30 以上）。

三、应用示例

• 独立性检验 ：若列联表为 $2 \times 2$，自由度 $df = （2-1） \times （2-1） = 1$。

• 拟合正态分布 ：若将高度分为 3 类（高、中、低），需估计均值和标准差，自由度 $df = 3 - 2 = 1$。

四、注意事项

• 自由度必须为非负整数，且与样本独立性直接相关。

• 在实际应用中，需根据检验类型选择正确的自由度计算方法。