要证明若随机变量 \（ X \） 的分布函数 \（ F_X（x） \） 是严格递增的连续函数，则 \（ Y = F_X（X） \） 服从 \（[0,1]\） 上的均匀分布，可以按照以下步骤进行：
一、定义与性质
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分布函数的定义
分布函数 \（ F_X（x） \） 是随机变量 \（ X \） 的累积分布函数，满足 \（ 0 \leq F_X（x） \leq 1 \），且 \（ F_X（x） \） 是单调递增的连续函数。
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反函数的存在性
由于 \（ F_X（x） \） 是严格递增且连续的，其反函数 \（ F_X^{-1}（y） \） 存在且单调递增。
二、证明过程
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确定 \（ Y \） 的取值范围
因为 \（ F_X（x） \） 的值域为 \（[0,1]\），所以 \（ Y = F_X（X） \） 的取值范围也是 \（[0,1]\）。
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计算 \（ Y \） 的分布函数 \（ F_Y（y） \）
[
F_Y（y） = P（Y \leq y） = P（F_X（X） \leq y）
]
由于 \（ F_X \） 是严格递增的，存在唯一 \（ x = F_X^{-1}（y） \） 使得 \（ F_X（x） = y \），因此：
[
F_Y（y） = P（X \leq F_X^{-1}（y）） = F_X（F_X^{-1}（y）） = y
]
这表明 \（ Y \） 的分布函数 \（ F_Y（y） = y \），即 \（ Y \） 服从 \（[0,1]\） 上的均匀分布。
三、结论
通过上述推导，证明了 \（ Y = F_X（X） \） 服从 \（[0,1]\） 上的均匀分布。这一结论适用于所有严格递增且连续的分布函数 \（ F_X（x） \）。
注 ：该证明基于分布函数的单调性和反函数的性质，无需考虑 \（ X \） 的具体分布类型（如正态分布、指数分布等）。