均匀分布的期望推导过程是通过概率密度函数在定义域上的积分运算实现的，其核心结论为：若随机变量(X)服从区间([a,b])上的均匀分布，则期望值(E(X)=\frac{a+b}{2})，即区间的中点。以下是具体推导步骤和关键要点：

1. 概率密度函数
   均匀分布的概率密度函数（PDF）为：

   $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{若 } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$$

   该函数保证区间内每一点的概率密度均等，且全域积分为1。

2. 期望的定义与计算
   期望(E(X))是随机变量所有可能取值与其概率的加权平均。对于连续型变量，通过积分计算：

   $$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx$$

   被积函数为线性函数，积分结果为(\frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2})，化简后即得中点公式。

3. 几何意义
   均匀分布的期望本质是区间([a,b])的对称中心，反映了随机变量取值的“平衡点”。这一性质在工程和统计建模中广泛应用，例如公平分配或误差分析。

总结：均匀分布期望的推导结合了概率论与微积分的基本原理，结果简洁且直观。掌握这一过程有助于理解更复杂分布的期望计算，并应用于实际问题的概率建模。