设随机变量 \（ K \） 在区间 \（ （0, 5） \） 上服从均匀分布，求方程 \（ 4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0 \） 有实根的概率。具体解答如下：
一、方程有实根的条件
方程 \（ 4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0 \） 有实根的必要条件是判别式非负，即：
[
\Delta = （4K）^2 - 4 \cdot 4 \cdot （K + 2） \geq 0
]
化简得：
[
16K^2 - 16（K + 2） \geq 0 \
K^2 - K - 2 \geq 0 \
（K - 2）（K + 1） \geq 0
]
解得 \（ K \geq 2 \） 或 \（ K \leq -1 \）。由于 \（ K \） 在 \（ （0, 5） \） 上取值，故只需考虑 \（ K \geq 2 \）。
二、计算概率
-
分布密度
\（ K \） 在 \（ （0, 5） \） 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
[
f（K） =
\begin{cases}
\frac{1}{5}, & 0 < K < 5 \
0, & \text{其他}
\end{cases}
]
-
概率计算
所求概率为 \（ K \） 在 \（ [2, 5） \） 区间内的概率：
[
P（K \geq 2） = \int_{2}^{5} \frac{1}{5} , dK = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}
]
三、结论
方程 \（ 4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0 \） 有实根的概率为 \（ \frac{3}{5} \）。
参考来源 ：
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