均匀分布的概率计算主要涉及概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF），具体如下：

一、概率密度函数（PDF）

均匀分布的概率密度函数为： $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

• 参数 ：$a$ 和 $b$ 分别为分布区间的下限和上限，$b > a$。

• 特点 ：在区间 $[a, b]$ 内概率密度恒定，区间外概率为0。

二、分布函数（CDF）

分布函数 $F（x）$ 表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率： $$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < a \ \frac{x-a}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \ 1 & \text{if } x > b \end{cases} $$

• 计算方法 ：对PDF积分，例如 $P（a \leq X \leq d） = \int_a^d \frac{1}{b-a} dx = \frac{d-a}{b-a}$。

三、关键性质

1. 等概率性 ：在区间 $[a, b]$ 内任意等长度子区间的概率相同，与子区间位置无关。

2. 单点概率为0 ：连续型随机变量在单点上的概率为0，即 $P（X = x） = 0$。

四、应用示例

若 $X \sim U[2, 4]$，则：

• PDF为 $f（x） = \frac{1}{2}$（当 $2 \leq x \leq 4$）；

• $P（3 \leq X \leq 5） = \frac{5-3}{4-2} = 1$（因为5超出上限）。

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