高等数学极限是微积分的核心基础，通过“无限逼近”思想解决瞬时速度、曲边图形面积等初等数学无法处理的问题。其核心包括数列与函数极限的ε-δ定义、四则运算法则、夹逼定理与洛必达法则等计算工具，以及无穷小与无穷大的动态分析。
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极限的定义与思想
极限的严格数学定义由柯西和魏尔斯特拉斯完善，摆脱了几何直观依赖。数列极限要求对任意ε>0存在N，使n>N时|aₙ-A|<ε；函数极限则通过0<|x-x₀|<δ控制|f(x)-A|<ε。这种“静态”定义成为现代数学分析的基石。 -
极限的计算方法
- 四则运算：若lim f(x)和lim g(x)存在，则和差积商的极限可拆分计算。
- 夹逼定理：若g(x)≤f(x)≤h(x)且lim g(x)=lim h(x)=A，则lim f(x)=A，适用于复杂极限的简化。
- 洛必达法则：处理0/0或∞/∞型未定式，通过对分子分母分别求导转化问题。
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无穷小与无穷大的应用
无穷小是极限为0的变量，高阶无穷小（如x²相对于x）在近似计算中可忽略。无穷大的倒数为无穷小，两者在极限运算中可相互转化，例如计算形如lim(x→∞)(1+1/x)ˣ=e的极限。 -
极限的连续性拓展
函数在x₀连续需满足lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)，该性质是导数与积分定义的前提。例如，导数定义为差商Δy/Δx的极限，定积分则是积分和式在分割细度趋于零时的极限。
掌握极限理论不仅能解决微积分中的精确计算问题，更是理解数学分析中导数、积分、级数等概念的钥匙。建议通过典型例题（如sinx/x在x→0时的极限）结合几何直观深化理解。
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