高等数学是数学专业的基础课程，主要涵盖函数、极限、导数、积分、微分方程等核心内容。以下是主要知识点及公式的

一、函数与极限

1. 函数定义与性质

   • 有界性、单调性、奇偶性、周期性等

   • 例如：偶函数满足$f（-x）=f（x）$，奇函数满足$f（-x）=-f（x）$

2. 极限的定义与性质

   • 数列极限$\lim_{n\to\infty}a_n$，函数极限$\lim_{x\to a}f（x）$

   • 极限运算法则（四则运算法则、夹逼准则、洛必达法则）

3. 无穷小与无穷大

   • 比较无穷小量（如$\alpha（x）$与$\beta（x）$满足$\lim\frac{\alpha（x）}{\beta（x）}=c$）

二、导数与微分

1. 导数定义与几何意义

   • 导数$f'（x）=\lim_{h\to0}\frac{f（x+h）-f（x）}{h}$，表示切线斜率

   • 例如：$（x^n）'=nx^{n-1}$

2. 求导法则

   • 四则运算法则、链式法则、隐函数求导、参数方程求导

   • 例如：$（\sin x）'=\cos x$，$（e^x）'=e^x$

3. 微分与近似计算

   • 微分公式$dy=f'（x）dx$，泰勒公式展开

   • 例如：$f（x）\approx f（a）+f'（a）（x-a）$

三、积分

1. 不定积分

   • 基本积分公式（如$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$）

   • 换元积分法（如$\int f（g（x））dx=F（g^{-1}（x））g'（g^{-1}（x））dx$）

2. 定积分

   • 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^b f（x）dx=F（b）-F（a）$

   • 应用：平面图形面积（如$\int_0^1 x^2 dx=\frac{1}{3}$）

3. 广义积分

   • 无穷限积分$\int_0^\infty e^{-x}dx=1$，瑕积分

四、微分方程

1. 一阶微分方程

   • 可分离变量方程（如$\frac{dy}{dx}=g（x）h（y）$）、齐次方程

   • 通解与特解：初始条件$y（x_0）=y_0$

2. 高阶微分方程

   • 常系数齐次线性方程（如$y''+py'+qy=0$）

   • 特解求法（如待定系数法、常数变易法）

五、多元函数微分学

1. 偏导数与全微分

   • 偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$，全微分$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

   • 例如：$z=x^2y+3xy^2$，$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy+3y^2$

2. 多元函数积分

   • 重积分$\iint_D f（x,y）dxdy$，曲线积分与曲面积分

   • 应用：计算平面区域面积（如$\iint_D dxdy$）

六、重要公式汇总

| 导数 | $（x^n）'=nx^{n-1}$ | 基