数学归纳法的核心在于通过 归纳假设 将命题从基础情形推广到所有自然数。其有效性基于以下逻辑结构：

1. 归纳基础

   首先证明当 \（ n = n_0 \）（通常为1）时命题成立。这是递推的起点，确保命题在最小自然数上正确。

2. 归纳假设

   假设当 \（ n = k \）（\（ k \geq n_0 \））时命题成立。这一步是关键，它允许我们利用已知条件推导出下一个情形。

3. 归纳证明

   基于归纳假设，证明当 \（ n = k + 1 \） 时命题也成立。通过这一推导，我们确保如果命题对 \（ k \） 成立，那么对 \（ k + 1 \） 也成立，从而形成递推链。

核心逻辑 ：归纳假设并非随意设定，而是基于已证明的基础情形。通过这一假设，我们能够将命题的验证从单一情形扩展到所有自然数，形成“传递性”。这种结构确保了命题在所有自然数上的正确性。

总结 ：归纳假设是数学归纳法的桥梁，它连接了基础情形与一般情形，使得通过证明“基础→归纳步骤”即可确立命题对所有自然数的成立。