$\cos\alpha = \frac{1-\tan^2（\frac{\alpha}{2}）}{1+\tan^2（\frac{\alpha}{2}）}$
$\tan\alpha = \frac{2\tan（\frac{\alpha}{2}）}{1-\tan^2（\frac{\alpha}{2}）}$
三角函数万能公式是三角函数中一组重要的恒等式，通过半角公式推导得出，主要用于简化计算和解决三角函数相关问题。以下是具体说明：
一、公式推导
万能公式的推导基于二倍角公式：
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$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$
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$\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}$
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$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
通过分子分母同时除以 $\cos^2\frac{\alpha}{2}$，可得：
$$
\sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}
$$
类似推导可得：
$$
\cos\alpha = \frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}
$$
$$
\tan\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}
$$
二、核心应用
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简化计算
万能公式将三角函数表达式转换为正切函数，避免使用复杂的三角函数值计算。例如，计算 $\sin 15^\circ$ 时，先求 $\tan 7.5^\circ$，再代入公式计算。
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公式验证
通过恒等变形可验证公式正确性。例如： $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2 + \left(\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2 = 1
$$类似方法可验证其他公式。
三、注意事项
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公式适用范围为任意角 $\alpha$，但需注意 $\cos\frac{\alpha}{2} \neq 0$，即 $\alpha \neq （2k+1）\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。
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推导过程中需谨慎处理符号，例如 $\tan\frac{\alpha}{2}$ 的正负由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限决定。
通过掌握万能公式，可有效提升三角函数问题的解题效率，尤其在中考等标准化考试中具有实用价值。