以下是导数相关的10道经典例题，涵盖函数单调性、极值、最值等核心题型，并附上答案解析：
一、函数单调性
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判断单调区间
函数 $f（x） = x^3 - 3x$，求其单调递增和递减区间。 答案 ：
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单调递增：$（-\infty, -1） \cup （1, +\infty）$
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单调递减：$（-1, 1）$
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二、极值与最值
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求极值
函数 $f（x） = x^2 - 4\ln x$，求其极值点及极值。 答案 ：
- 极小值：$x=2$，$f（2）=4-4\ln 2$
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最值问题
函数 $f（x） = \sin x + x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最值。 答案 ：
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最大值：$f（\frac{\pi}{2}）=1+\frac{\pi}{2}$
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最小值：$f（0）=0$
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三、导数应用题
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切线方程
曲线 $y = x^3 - 3x$ 在点 $（1, -2）$ 处的切线方程。 答案 ：
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切线斜率：$f'（1）=-4$
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切线方程：$y+2=-4（x-1）$ 即 $4x+y-2=0$
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物理应用
质点运动方程 $s（t） = t^3 - 3t^2$，求 $t=4$ 时的速度。 答案 ：
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速度 $v（t）=s'（t）=3t^2-6t$
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$v（4）=3（16）-6（4）=12$
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四、不等式与恒成立问题
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不等式恒成立
若 $f（x） = x^2 + ax + 1 \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。 答案 ：
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判别式 $\Delta = a^2 - 4 \leq 0$
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解得：$-2 \leq a \leq 2$
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参数范围
函数 $f（x） = \ln x - \frac{1}{x}$，若存在 $x_0 \in （1, e）$ 使得 $f'（x_0） = 0$，求参数范围。 答案 ：
- $f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}>0$ 在 $（1, e）$ 恒成立，无解
五、综合应用题
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函数构造
已知 $f（x）$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，在 $[1, 2]$ 上单调递增，且 $f（0）=f（2）=0$，构造函数 $g（x）$ 并求导。 答案 ：
- 可设 $g（x）=-（x-1）^2$，则 $g'（x）=-2（x-1）$
六、导数与函数图像
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导数图象分析
给出 $f'（x）$ 的图象，判断 $f（x）$ 的极值点个数及性质。 答案 ：
- 若 $f'（x）$ 在某点由负变正，则 $f（x）$ 有极小值；由正变负则有无穷大极值
七、补充练习题
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隐函数求导
方程 $x^2 + y^2 = 1$，求 $\frac{dy}{dx}$。 答案 ：
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对两边求导得 $2x + 2y\frac{dy}{dx}=0$
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解得：$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$
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以上题目综合