统计学作为数据分析的核心工具，其公式不仅是理论学习的基石，也是实际应用的利器。以下是一些统计学中必背的核心公式及其应用场景，帮助您快速掌握并灵活运用。

一、基础统计公式

1. 均值（Mean）
   

   $$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$μ=n∑i=1n​xi​​
   
   应用场景：计算一组数据的平均水平，常用于描述集中趋势。

2. 标准差（Standard Deviation）
   

   $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$σ=n∑i=1n​(xi​−μ)2​​
   
   应用场景：衡量数据的离散程度，用于分析数据的波动性。

3. 方差（Variance）
   

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$$σ2=n∑i=1n​(xi​−μ)2​
   
   应用场景：与标准差类似，用于量化数据分布的离散程度。

二、概率分布公式

1. 二项分布（Binomial Distribution）
   

   $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k
   
   应用场景：计算在固定次数的独立重复试验中，某事件发生k次的概率。

2. 泊松分布（Poisson Distribution）
   

   $$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$P(X=k)=k!λke−λ​
   
   应用场景：适用于事件在固定时间或空间内随机独立发生的概率计算。

3. 正态分布（Normal Distribution）
   

   $$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$f(x)=σ2π​1​e−2σ2(x−μ)2​
   
   应用场景：描述连续随机变量的分布，广泛应用于误差分析和质量控制。

三、假设检验公式

1. t检验（t-test）
   

   $$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$$t=s/n​xˉ−μ​
   
   应用场景：用于单样本或双样本均值差异的显著性检验。

2. 卡方检验（Chi-square Test）
   

   $$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$χ2=∑Ei​(Oi​−Ei​)2​
   
   应用场景：检验分类变量之间的独立性或拟合优度。

四、回归分析公式

1. 线性回归（Linear Regression）
   

   $$y = a + bx$$y=a+bx
   
   应用场景：分析两个变量之间的线性关系，预测因变量的值。

2. 多元线性回归（Multiple Linear Regression）
   

   $$y = a + b_1x_1 + b_2x_2 + \ldots + b_kx_k$$y=a+b1​x1​+b2​x2​+…+bk​xk​
   
   应用场景：分析多个自变量对因变量的综合影响。

五、相关性分析公式

1. 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）
   
   $$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$r=∑i=1n​(xi​−xˉ)2∑i=1n​(yi​−yˉ​)2​∑i=1n​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)​
   
   应用场景：衡量两个变量之间的线性相关程度。

六、样本量计算公式

1. 样本量公式（Sample Size Calculation）
   
   $$n = \frac{(Z_{\alpha/2} + Z_{\beta})^2 \sigma^2}{E^2}$$n=E2(Zα/2​+Zβ​)2σ2​
   
   应用场景：根据误差范围和置信水平，计算所需的样本量。

总结

掌握这些统计学公式不仅有助于理论学习，还能在数据分析、假设检验和预测建模等实际场景中发挥重要作用。建议结合具体应用场景进行练习，以便灵活运用这些公式解决实际问题。