​​洛必达法则是微积分中求解未定式极限的核心工具，通过分子分母分别求导简化计算，适用于$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty }{\infty }$型极限，并能推广至$0\cdot \infty$、$1^{\infty }$等复杂构型。​​

1. ​​基本公式​​

   • ​​$\frac{0}{0}$型​​：若${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$满足$f(a)=g(a)=0$且导数存在，则${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$。
   • ​​$\frac{\infty }{\infty }$型​​：若${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=\infty$，同样适用上述公式。

2. ​​扩展构型与转化方法​​

   • ​​$0\cdot \infty$型​​：转化为$\frac{0}{1/\infty }$或$\frac{\infty }{1/0}$。
   • ​​$\infty -\infty$型​​：通分或变形为分式形式。
   • ​​幂指函数型​​（如$1^{\infty }$）：取对数化为$\frac{\ln (f(x))}{1/g(x)}$再求导。

3. ​​应用条件与注意事项​​

   • 必须验证是否为未定式，且分子分母在邻域内可导。
   • 可连续多次使用，直至极限为非未定式或不存在。
   • 数列极限需改用斯托尔兹-切萨罗定理。

​​掌握洛必达法则需结合具体问题灵活转化，避免滥用条件，同时辅以泰勒展开等技巧提升效率。​​