​​概率与统计是数据分析的核心工具，用于量化不确定性、揭示规律并支持决策。​​ 其核心知识点包括​​概率分布、假设检验、回归分析​​等，广泛应用于金融、医学、人工智能等领域。掌握这些工具能帮助我们从数据中提取有效信息，避免认知偏差。

1. ​​概率基础​​
   概率描述事件发生的可能性，范围在$0$（不可能）到$1$（必然）之间。核心概念包括条件概率（$P(A|B)$表示事件$B$发生时$A$的概率）和贝叶斯定理（$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$），后者在机器学习中用于更新先验知识。

2. ​​常见概率分布​​

   • ​​正态分布​​：对称钟形曲线，描述自然现象（如身高、测量误差），公式为$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$。
   • ​​泊松分布​​：描述稀有事件（如单位时间内的呼叫次数），概率函数为$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$。

3. ​​统计推断​​
   通过样本推断总体特征，包括：

   • ​​点估计​​（如样本均值$\bar{x}$估计总体均值$\mu$）；
   • ​​区间估计​​（95%置信区间表示重复抽样时包含真实参数的概率）。

4. ​​假设检验​​
   判断数据是否支持假设，例如$t$检验比较两组均值差异。步骤包括设立原假设（$H_0$）、计算$p$值（若$p<0.05$则拒绝$H_0$），需注意​​第一类错误（假阳性）​​风险。

5. ​​回归分析​​
   探究变量间关系，如线性回归模型$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+ϵ$。​​$R^2$​​衡量模型解释力，残差分析验证假设是否成立。

​​实际应用中，需结合领域知识选择合适方法，并警惕数据陷阱（如混杂变量）。​​ 概率与统计不仅是数学工具，更是理性决策的基石。