分析学是数学的核心分支之一，​​以微积分和极限理论为基础​​，​​涵盖从经典数学到现代应用的广泛领域​​。其分支可分为基础理论与应用方向两大类，​​包括数学分析、实变函数、泛函分析等基础学科​​，以及​​调和分析、流形上的分析等现代拓展​​，广泛应用于物理、工程、数据科学等领域。

1. ​​数学分析​​：研究微积分、级数、极限等基础理论，是分析学的起点。
2. ​​实变函数论​​：拓展积分概念（如勒贝格积分），解决传统微积分无法处理的函数问题。
3. ​​复变函数论​​：分析复数域上的解析函数，在流体力学和量子力学中有重要应用。
4. ​​泛函分析​​：研究函数空间与算子，为量子力学和偏微分方程提供数学框架。
5. ​​调和分析​​：通过傅里叶变换研究函数频域特性，是信号处理的核心工具。
6. ​​微分方程​​：包括常微分方程与偏微分方程，用于建模自然和工程系统。
7. ​​函数逼近论​​：探索用简单函数（如多项式）逼近复杂函数的方法。
8. ​​流形上的分析​​：将微积分推广到曲面和高维空间，支撑广义相对论等理论。

分析学的发展不断推动科学进步，其分支的交叉融合更催生了机器学习、拓扑数据分析等前沿领域。理解这些分支，能帮助把握现代科技背后的数学逻辑。