高数典型例题涵盖函数、极限、级数、积分等多个核心知识点，以下为精选例题及解析：
一、函数及其定义域
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定义域判断
例：求函数 $f（x） = \ln（x-1） + \frac{1}{\sqrt{2-x}}$ 的定义域。
解：对数函数 $\ln（x-1）$ 要求 $x-1 > 0$，即 $x > 1$；分母 $\sqrt{2-x}$ 要求 $2-x > 0$，即 $x < 2$。综合得定义域为 $（1, 2）$。
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相同函数判断
例：判断 $y = \frac{x^2-1}{x-1}$ 与 $y = x+1$ 是否为相同函数。
解：前者定义域为 $x \neq 1$，后者定义域为全体实数，定义域不同，故不是相同函数。
二、极限与连续
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数列极限
例：判断数列 $a_n = \frac{\sin（n）}{n}$ 是否收敛。
解：利用夹逼准则，$-1 \leq \sin（n） \leq 1$，则 $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin（n）}{n} \leq \frac{1}{n}$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，故数列收敛于0。
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有理函数极限
例：求 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+2x+1}{2x^2-x+5}$。
解：分子分母同除以 $x^2$，得 $\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{3}{2}$。
三、级数与幂级数
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级数敛散性
例：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n（n+1）}$ 是否收敛。
解：利用部分分式分解，$\frac{1}{n（n+1）} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，为 telescoping series（裂项级数），其和为1，故收敛。
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幂级数收敛半径
例：求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{（x-1）^n}{n!}$ 的收敛半径。
解：利用比值法，$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{（n+1）!} |x-1| = |x-1|$，当 $|x-1| < 1$ 时收敛，故收敛半径为1。
四、积分与反函数
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定积分计算
例：求 $\int_0^1 \frac{\ln（x+1）}{x} dx$。
解：令 $t = \ln（x+1）$，则 $x = e^t - 1$，积分变为 $\int_0^{\ln 2} t e^t dt$，利用分部积分法计算。
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反函数求解
例：求 $y = e^{2x} + 3$ 的反函数。
解：解方程得 $x = \frac{1}{2} \ln（y-3）$，故反函数为 $f^{-1}（x） = \frac{1}{2} \ln（x-3）$。
以上例题均基于高数核心知识点，涵盖函数性质、极限计算、级数敛散性及积分方法，适合系统学习和参考。