高数经典问题通常涉及函数、极限、导数、积分等核心内容，以下是几类典型问题的整理及解题思路：
一、函数与极限
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等价无穷小
例：当 $x \to 0$ 时，$（1 - ax^2）^{\frac{1}{x}}$ 与 $e^{-x}$ 是等价无穷小，求 $a$ 的值。 解法 ：利用等价无穷小替换 $e^x \sim 1 + x$，并通过洛必达法则验证等价性。
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间断点类型判断
例：函数 $f（x） = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。 解法 ：通过 $\lim_{x \to 0} f（x） = 1$，判断为可去间断点。
二、导数与微分
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导数应用
例：证明若 $f''（x） > 0$，则 $f（x）$ 在区间内是凹函数。 解法 ：利用二阶导数与曲线凹凸性的关系，结合罗尔定理证明。
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高阶导数与泰勒公式
例：求 $f（x） = e^x \sin x$ 的五阶导数，并利用泰勒公式展开 $f（x）$ 在 $x = 0$ 处的近似式。 解法 ：通过乘积法则求导，再代入泰勒公式公式。
三、积分与微分方程
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定积分计算
例：计算 $\int_{1}^{e} \ln x , dx$。 解法 ：使用分部积分法，设 $u = \ln x$，$dv = dx$，积分后化简计算。
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常系数线性微分方程
例：求解微分方程 $y'' + 4y' + 4y = 0$。 解法 ：特征方程法，得到通解 $y = （C_1 + C_2 x）e^{-2x}$。
四、几何与概率
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几何测量问题
例：求球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 与平面 $z = 0$ 的交线在 $xOy$ 平面上的投影曲线。 解法 ：联立方程消去 $z$，得到投影曲线方程。
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概率统计应用
例：从区间 $[0, 1]$ 上均匀分布中抽取样本，求样本均值 $\bar{X}$ 的分布。 解法 ：利用大数定律和中心极限定理分析。
经典题型总结
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极限类 ：$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$
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导数类 ：$f'''（x）$ 的计算，隐函数求导
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积分类 ：$\int \frac{1}{1 + x^2} , dx$，反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} , dx$
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微分方程类 ：一阶线性方程 $y' + P（x）y = Q（x）$ 的通解
建议结合教材和习题集系统学习，重点掌握定理的证明方法和典型题型的解法。