根据《中华人民共和国民事诉讼法》及《人民检察院民事诉讼监督规则》，中院驳回再审申请后，应向 作出原生效裁判的同级人民检察院 申请抗诉。具体说明如下：

1. 申请检察院层级

   • 需向 作出生效裁判的同级检察院 提出申请，而非直接向上级检察院。例如，若再审由中级人民法院驳回，应向该中级法院同级的市人民检察院申请。

2. 法律依据

   • 《人民检察院民事诉讼监督规则》第二十九条规定，当事人对生效裁判不服的，由作出生效裁判的法院所在地同级检察院受理。

   • 《民事诉讼法》第二百零九条明确将“人民法院驳回再审申请”列为可申请检察建议或抗诉的情形之一。

3. 时效要求

   • 抗诉申请需在 裁判书送达后2年内 提出，逾期将不予受理。

4. 注意事项

   • 检察院审查后，若认为原裁判确有错误，会依法提出抗诉，案件将重新进入再审程序。

   • 申请后，当事人不得再次向检察院提出检察建议或抗诉。

总结 ：中院驳回再审申请后，应向原生效裁判的同级检察院提交抗诉申请，遵循法定时效并注意检察院的审查结果。