数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，通过分步骤证明命题对所有自然数成立。以下是两个经典例子：
一、等差数列求和公式
命题 ：对于任意正整数 $n$，等差数列 $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + na_n = \frac{n（n+1）（n+2）}{2}$。
证明步骤 ：
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基础步骤 ：当 $n=1$ 时，左边 $= a_1$，右边 $= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2} = 3$。若 $a_1 = 3$，则等式成立。
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归纳步骤 ：假设当 $n=k$ 时等式成立，即 $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + ka_k = \frac{k（k+1）（k+2）}{2}$。 当 $n=k+1$ 时，左边 $= \frac{k（k+1）（k+2）}{2} + （k+1）a_{k+1}$。 通过归纳假设替换后化简，可得 $\frac{（k+1）（k+2）（k+3）}{2}$，即等式对 $n=k+1$ 也成立。
二、能被9整除的数列
命题 ：对于任意正整数 $n$，数列 $a_n = 3n + 3$ 满足 $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + na_n$ 能被9整除。
证明步骤 ：
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基础步骤 ：当 $n=1$ 时，$a_1 = 6$，$a_1 = 6$ 能被9整除。
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归纳步骤 ：假设当 $n=k$ 时等式成立，即 $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + ka_k$ 能被9整除。 当 $n=k+1$ 时，$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + ka_k + （k+1）a_{k+1} = \frac{k（k+1）（k+2）}{2} + （k+1）（3（k+1）+3）$。 通过化简可得 $\frac{（k+1）（k+2）（k+3）}{2}$，该式能被9整除，因此等式对 $n=k+1$ 也成立。
总结
数学归纳法通过基础步骤和归纳步骤的结合，能够证明与自然数相关的命题。关键在于正确使用归纳假设，并在归纳步骤中严格推导。上述例子展示了该方法在数列求和与数列性质证明中的典型应用。