数学归纳法的核心步骤包括基础步骤和归纳步骤，通过这两个步骤证明命题对所有自然数成立。以下是具体步骤及典型例题：
一、数学归纳法步骤
-
基础步骤
验证当 $n = n_0$（通常为1）时命题成立，建立初始锚点。
例如：证明 $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n（n+1）}{2}$，当 $n=1$ 时，左边=1，右边=1，成立。
-
归纳假设
假设当 $n = k$（$k \geq n_0$）时命题成立，作为后续递推的基础。
例如：假设 $1 + 2 + \cdots + k = \frac{k（k+1）}{2}$。
-
递推证明
在归纳假设成立的前提下，证明当 $n = k+1$ 时命题也成立。
例如：$1 + 2 + \cdots + k + （k+1） = \frac{k（k+1）}{2} + （k+1） = \frac{（k+1）（k+2）}{2}$，成立。
二、典型例题
-
等差数列求和公式
证明 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{n（a_1 + a_n）}{2}$。
-
基础步骤：当 $n=1$ 时，$a_1 = \frac{1（a_1 + a_1）}{2}$，成立。
-
归纳假设：假设 $n=k$ 时成立，即 $a_1 + a_2 + \cdots + a_k = \frac{k（a_1 + a_k）}{2}$。
-
递推证明：$a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1} = \frac{k（a_1 + a_k）}{2} + a_{k+1} = \frac{（k+1）（a_1 + a_{k+1}）}{2}$，成立。
-
-
麦堆全麦问题
证明：若拿走第一粒麦子后剩余麦堆是全麦堆，那么任意减少一粒麦子后剩余麦堆仍是全麦堆。
-
基础步骤：初始拿走第一粒后剩余麦堆是全麦堆。
-
归纳假设：假设减少 $k$ 粒后剩余麦堆是全麦堆。
-
递推证明：减少 $k+1$ 粒后，剩余麦堆仍为全麦堆（由假设推导）。
-
三、注意事项
-
缺一不可 ：基础步骤和归纳步骤必须同时满足，否则无法保证对所有自然数成立。
-
递推逻辑 ：需严格利用归纳假设进行推导，避免“假证”（如未使用假设条件）。
通过以上步骤和例题，可系统掌握数学归纳法的应用方法。