样本标准差 $S$ 不是总体标准差 $\sigma$ 的无偏估计量，这一结论在统计学中具有广泛认可。以下是具体分析：

一、核心结论

样本标准差 $S$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量，但 不是 $\sigma$ 的无偏估计量 。其数学期望 $E（S） \neq \sigma$，而是存在系统性偏差。

二、详细解释

1. 定义与性质

   • 样本标准差 $S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n （X_i - \overline{X}）^2}$，用于估计总体标准差 $\sigma$。

   • 样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n （X_i - \overline{X}）^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，即 $E（S^2） = \sigma^2$。

2. 偏差来源

   • 由于 $S = \sqrt{S^2}$，对 $S^2$ 开方引入了非线性变换，导致 $E（S） \neq \sigma$。具体计算可参考泰勒展开或模拟验证，结果为 $E（S） < \sigma$，即存在系统性低估。

3. 实际应用中的调整

   • 若需无偏估计 $\sigma$，通常使用 $B = \frac{n}{n-1} S$，其期望 $E（B） = \sigma$，但该调整会牺牲有效性（即估计的集中趋势）。

三、相关补充

• 贝塞尔公式与测量次数 ：在实验标准差计算中，贝塞尔公式可能导致 $s$ 偏离 $\sigma$，需通过增加测量次数（如 $n \geq 10$）或引入重复性不确定度修正。

• 估计量评价 ：无偏性是评价估计量的重要标准，但需结合有效性（如一致性、有效性）综合判断。样本标准差 $S$ 在样本量较小时偏差较大，样本量增大时趋于稳定。

四、结论

样本标准差 $S$ 作为 $\sigma$ 的估计量存在固有偏差，实际应用中需根据需求选择是否调整或接受其局限性。