cosx的导数为 -sinx ，具体推导过程如下：

1. 导数定义法

   根据导数定义： $$ \frac{d}{dx}(\cos x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} $$

   利用三角恒等式$\cos（a + b） = \cos a \cos b - \sin a \sin b$，得：
   $$ \frac{\cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x - \cos x}{\Delta x} = \cos x \frac{1 - \cos \Delta x}{\Delta x} - \sin x $$

   当$\Delta x \to 0$时，$\frac{1 - \cos \Delta x}{\Delta x} \to 0$，最终结果为：
   $$ -\sin x $$

2. 极限法

   直接计算极限： $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = -\sin x $$

   该结果与导数定义法一致。

3. 几何意义

   从几何角度看，$\cos x$的导数$-\sin x$表示函数在某点的切线斜率，符合三角函数的性质。

结论 ：cosx的导数为$-\sin x$，这是微积分中的基本导数公式之一。