高阶导数是微积分中的重要概念，用于描述函数变化率的变化率，掌握其核心公式能高效解决复杂数学问题。 以下是6个关键公式及其应用场景：

1. 幂函数公式
   若 ( f(x) = x^n )，则 ( k ) 阶导数为 ( f^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n-k} )。特别地，当 ( k > n ) 时，导数为0。适用于多项式函数的逐阶求导。

2. 指数函数公式
   指数函数 ( f(x) = e^{ax} ) 的 ( k ) 阶导数为 ( f^{(k)}(x) = a^k e^{ax} )。在微分方程和概率论中广泛应用。

3. 正弦/余弦函数公式
   正弦函数 ( \sin(x) ) 的 ( k ) 阶导数为 ( \sin\left(x + \frac{k\pi}{2}\right) )，余弦函数同理。周期性使得高阶导数呈现循环规律，常用于信号处理。

4. 乘法法则（莱布尼茨公式）
   两函数乘积的高阶导数：( (uv)^{(k)} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} u^{(i)} v^{(k-i)} )。适用于复合函数求导，如 ( x^2 \sin(x) )。

5. 对数函数公式
   自然对数 ( \ln(x) ) 的 ( k ) 阶导数为 ( (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{x^k} )。在泰勒展开和积分计算中常见。

6. 隐函数求导法
   通过链式法则对隐函数方程（如 ( F(x,y)=0 )）逐次求导，得到高阶导数表达式。适用于无法显式解出的函数关系。

掌握这些公式可大幅简化高阶导数计算，建议结合具体问题灵活选择，并注意验证连续性等前提条件。